Per costruire il pavimento del nostro bagno abbiamo a disposizione solo piastrelle quadrate tutte uguali. Le possiamo mettere a quattro a quattro attorno ai vertici per formare una quadrettatura e quello che otteniamo è un esempio di tassellazione regolare. Oppure pensate alle celle esagonali delle api. Riuscite ad immaginare un mondo in cui è possibile accostare le piastrelle quadrate a cinque a cinque o accostare le celle delle api a quattro a quattro mantenendole esagoni regolari? Anche se vi sembra strano, cambiando un po’ le regole del gioco e alcuni concetti di base della geometria, la cosa è possibile e il risultato è sorprendente. Bisogna però chiarire quali modifiche abbiamo fatto; queste ci fanno scoprire il mondo della geometria iperbolica. Per giocare con questa geometria usiamo di solito un modello chiamato disco di Poincaré, in cui le rette prendono la forma di archi di circonferenza e segmenti. È possibile osservare alcune proprietà di queste rette anche in particolari curve su alcune superfici che sono chiamate geodetiche, tra le quali spicca la pseudosfera di Beltrami. Utilizzando isole multimediali touchscreen si possono costruire delle tassellazioni regolari iperboliche, potendone ammirare le costruzioni geometriche e il notevole impatto visivo e grafico. L’artista M.C. Escher si è ispirato a questa geometria per alcune delle sue opere.